Question

已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）和椭圆C2：x22+y2=1，离心率相同，且点（2，1）在椭圆C1上．（Ⅰ）求

已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）和椭圆C2：x22+y2=1，离心率相同，且点（2，1）在椭圆C1上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C2上一点，过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点．求证：无论点P怎样变化，△AOC的面积为常数，并求出此常数．

Answer 1

（Ⅰ）由题知，

2

a2

+

1

b2

＝1且

c

a

＝

2

2

即a²=4，b²=2，
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

2

＝1；…（4分）
（Ⅱ）当直线AC的斜率不存在时，必有P(±

2

，0)，此时|AC|=2，S△AOC＝

2

…（5分）
当直线AC的斜率存在时，设其斜率为k、点P（x₀，y₀），则AC：y-y₀=k（x-x₀）
与椭圆C₁联立，得(1+2k2)x2+4k(y0?kx0)x+2(y0?kx0)2?4＝0，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则x0＝

x1+x2

2

＝?

2k(y0?kx0)

1+2k2

，即x₀=-2ky₀…（8分）
又x02+2y02＝2，∴y02＝

1

1+2k2

…（9分）
S△AOC＝