已知关于x的方程 mx2+(3m+1)x+3=0.(1)求证:不论m为任何实数,此方程总有实数根;(2)若抛物线y=mx

已知关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0.(1)求证:不论m为任何实数,此方程总有实数根;(2)若抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与x轴交于两个不同的整数点,且... 已知关于x的方程 mx2+(3m+1)x+3=0.(1)求证:不论m为任何实数,此方程总有实数根;(2)若抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与x轴交于两个不同的整数点,且m为正整数,试确定此抛物线的解析式;(3)若点P(x1,y1)与Q(x1+n,y2)在(2)中抛物线上 (点P、Q不重合),且y1=y2,求代数式4x12+12x1n+5n2+16n+8的值. 展开
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狄小少562
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(1)当m=0时,原方程化为x+3=0,此时方程有实数根 x=-3.
当m≠0时,原方程为一元二次方程.
∵△=(3m+1)2-12m=9m2-6m+1=(3m-1)2≥0.
∴此时方程有两个实数根.
综上,不论m为任何实数时,方程 mx2+(3m+1)x+3=0总有实数根.

(2)∵令y=0,则 mx2+(3m+1)x+3=0.
解得 x1=-3,x2=?
1
m

∵抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与x轴交于两个不同的整数点,且m为正整数,
∴m=1.
∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3.

(3)∵点P(x1,y1)与Q(x1+n,y2)在抛物线上,
y1x12+4x1+3,y2=(x1+n)2+4(x1+n)+3
∵y1=y2
x12+4x1+3=(x1+n)2+4(x1+n)+3
可得 2x1n+n2+4n=0
即  n(2x1+n+4)=0.
∵点P,Q不重合,
∴n≠0.
∴2x1=-n-4.
4
x
2
1
+12x1n+5n2+16n+8=(2x1)2+2x1?6n+5n2+16n+8
=(n+4)2+6n(-n-4)+5n2+16n+8=24.
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(1)△=b^2-4ac
(3m+1)^2-4*m*3=9m^2-6m+1=(3m-1)^2≥0
因此此方程总有实数根
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