Question

【高中数学】均值不等式。已知a，b为正数。已知a＋b＝1.求ab范围，求（ab＋1／ab）范围。（

【高中数学】均值不等式。已知a，b为正数。已知a＋b＝1.求ab范围，求（ab＋1／ab）范围。（注意，请别用导数求解。）

Answer 1

①ab=a(1-a)=a-a²=-(a²-a)=-(a-1/2)²+1/4
易知：0＜a＜1
当a=1/2时，ab有最大值1/4
当a=0或1时，ab=0(注：a≠0或1)
∴0＜ab≤1/4
②
设f(x)=x+1/x(0＜x≤1/4)
证一下增减性
设0＜x1＜x2≤1/4
f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-x1-1/x1=(x2-x1)+(1/x2-1/x1)=(x2-x1)(1-1/x1x2)
x2-x1＞0 1/x1x2≥4
显然f(x2)＜f(x1)
∴函数为减函数
当ab=1/4时，ab+1/ab有最小值为17/4

Answer 2

(1)
依均值不等式得
ab≤[(a+b)/2]^2＝1/4,
而已知a>0、b>0,即ab>0.
∴ab∈(0, 1/4].

(2)
构造对勾函数
f(t)＝t+1/t (0<t≤1/4)
依对勾函数的单调性知，
当0<t≤1时，它单调递减.
∴0<t≤1/4时，有
f(t)≥f(1/4)＝(1/4)+4＝17/4.
∴ab+1/ab∈[17/4, +∞)。

Answer 3

（a+b）^2-4ab=（a-b）^2>=0
（a+b）^2>=4ab
ab＜=（a+b）^2*1/4
ab＜=1/4