Question

在圆中有结论“经过圆心的任意弦的两端点与圆上任意一点（除这两个端点外）的连线的斜率之积为定值-1”是

在圆中有结论“经过圆心的任意弦的两端点与圆上任意一点（除这两个端点外）的连线的斜率之积为定值-1”是正确的．通过类比，对于椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) ，我们有结论“______”成立．

Answer 1

设经过椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 中心的任意弦AB，且 A（x 1 ，y 1 ），则B（-x 1 ，-y 1 ），P（x 0 ，y 0 ），则k AP ?k BP = y 20 - y 21 x 20 - x 21 ① 由椭圆方程得y 2 =b 2 （1- x 2 a 2 ），∴①式即为k AP ?k BP = b 2 (1- x 0 2 a 2 ) - b 2 (1- x 2 a 2  ) x 0 2 - x 1 2 = - b 2 a 2 故答案为： 经过椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 中心的任意弦的两端点与椭圆上除这两个端点外的任意一点P的连线的斜率之积为定值 - b 2 a 2