Question

如图1，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x- 4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y

如图1，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x- 4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线 也经过A点。
（1）求点A坐标；（2）求k的值；（3）若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形。若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。（4）若点P为x负半轴上一动点，在点A的左侧的双曲线上是否存在一点N，使得△PAN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形。若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）作AD⊥x轴于D ∵△AOB为等腰直角三角形 ∴OD=AD=BD 设A（a，a）， 则a=3a-4 a=2 ∴点A（2，2）。
（2）又点A在 上， ∴k=4， 反比列函数为 。
（3）存在 设M（m，n） ∵∠PAM=∠OAB=90° ∴∠OAP=∠BAM ∵OA=OB，AP=AM ∴△OAP≌△BAM ∴∠ABM=∠AOP=45° ∴∠OBM=90° 即MB⊥x轴 ∵OB=4 且M在上 ∴M（4，1）。
（4）不存在 由（3）中所证易知： 若三角形PAN为等腰直角三角形 则：△PAB≌△NAO ∴∠NOA=∠PBA=45° ∴∠NOB=90° 则点N在y轴上， ∴点N不在双曲线上 ∴点N不存在。