Question

已知函数f（x）=xlnx，当x2＞x1＞0时，给出下列几个结论：①（x1-x2）?[f（x1）-f（x2）]＜0；②f（x1）+

已知函数f（x）=xlnx，当x2＞x1＞0时，给出下列几个结论：①（x1-x2）?[f（x1）-f（x2）]＜0；②f（x1）+x2＜f（x2）+x1；③x2?f（x1）＜x1?f（x2）；④当lnx1＞-1时，x1?f（x1）+x2?f（x2）＞2x2f（x1）．其中正确的是______（将所有你认为正确的序号填在横线上）．

Answer 1

∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，∴（0，

1

e

）上函数单调递减，（

1

e

，+∞）上函数单调递增，
从而可知①②不正确；
令g（x）=

f(x)

x

=lnx，则g′（x）=

1

x

，（0，+∞）上函数单调递增，
∵x₂＞x₁＞0，∴g（x₂）＞g（x₁），∴x₂?f（x₁）＜x₁?f（x₂），即③正确；
lnx₁＞-1时，f（x）单调递增，
∴x₁?f（x₁）+x₂?f（x₂）-2x₂f（x₁）=x₁[f（x₁）-f（x₂）]+x₂[f（x₂）-f（x₁）]=（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0
∴x₁?f（x₁）+x₂?f（x₂）＞x₁?f（x₂）+x₂f（x₁），
∵x₂?f（x₁）＜x₁?f（x₂），利用不等式的传递性可以得到x₁?f（x₁）+x₂?f（x₂）＞2x₂f（x₁），故④正确．
故答案为：③④．