Question

已知数列{an}是首项为2的等比数列，且满足an+1=pan+2n(n∈N*)（1）求常数p的值和数列{an}的通项公式；（2

已知数列{an}是首项为2的等比数列，且满足an+1=pan+2n(n∈N*)（1）求常数p的值和数列{an}的通项公式；（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n-2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，试写出数列{bn}的通项公式；（3）在（2）的条件下，设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn+1Tn=113？若存在，试求所有满足条件的正整数n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由a1=2，an-1=pan+2n，
得a2=2p+2，a3=2p2+2p+4，
∵存在常数p，使得数列a_n为等比数列，
∴a 22=a₁a₃，即（2p+2）²=2（2p²+2p=4），
∴p=1．
故数列{a_n}为首项是非，公比为2的等比数列，即an=2n，
此时，an+1=2n+2n=2n+1也满足，
则所求常数p的值为1，且an=2n（n∈N^*）．
（2）由等比数列的性质得：
（i）当n=2k（k∈N^*）时，bn=a3k=23k；
（ii）当n=2k-1（k∈N^*）时，b_n=a_3k-1=2^3k-1，
∴bn=

2 3n+1 2 ，n=2k-1 2 3n 2 ，n=2k

，(k∈N*)．
（3）∵{b_2n-1}是首项为b₁=4，公式q=8的等比数列，
{b_2n}是首项b₂=8，公比q=8的等比数列，则
（i）当n=2k（k∈N^*）时，
T_n=T_2k=（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）
=

4(8k-1)

8-1

+

8(8k-1)

8-1

=

12?8k-12

7

=

12?8 n 2 -12

7

．
（ii）当n=2k-1（k∈N^*）时，
T_n=T_2k-1=T_2k-b_2k=

12?8k-12

7

-8k
=

5?8k-12

7