Question

如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且OP=2，∠APB=60°．若点C在⊙O上，且AC=2，则圆周角∠CAB的度数

如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且OP=2，∠APB=60°．若点C在⊙O上，且AC=2，则圆周角∠CAB的度数为______．

Answer 1

解：连接AB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且∠APB=60°，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠OPA=

1

2

∠APB=30°，
∴∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=

180°?∠AOB

2

=30°，
∵OP=2，
∴OA=

1

2

OP=1；
∵AC=

2

，OA=OC=1，
∴AC²=OA²+OC²，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠OAC=45°；
①如图1，若点C在劣弧AB上时，∠CAB=∠OAC-∠OAB=45°-30°=15°；
②如图2，若点C在优弧AB上时，∠CAB=∠OAC+∠OAB=45°+30°=75°．
∴圆周角∠CAB的度数为：15°或75°．
故答案为：15°或75°．