Question

对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称函数y

对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭，如果函数f（x）=-4x1+|x|在R上封闭，则b-a=______．

Answer 1

∵f（x）=-

4x

1+|x|

=

?4+ 4 x+1 ，x∈[0，+∞) 4+ 4 x?1 ，x∈(?∞，0)

，设0≤x_1＜x₂，
则f（x₁）-f（x_2）=

4(x2?x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0，故f（x）在[0，+∞）上是
单调递减函数，又∵f（x）=

4x

1+|x|

，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数．
所以f（x）在R上是单调递减函数，
而x∈[0，+∞）时，f（x）值域为（-4，0]，x∈（-∞.0）时，f（x）值域为（0，4）
要使得y=f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则a＜0＜b
由

f(a)＝b f(b)＝a

，得

4+ 4 a?1 ＝b ?4+ 4 b+1 ＝a

，得

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