Question

如图1，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D，AD与BC相交于E点，已知：A（-2，-6），

如图1，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D，AD与BC相交于E点，已知：A（-2，-6），C（1，-3），一抛物线经过A，E，C三点．（1）求点E的坐标及此抛物线的表达式；（2）如图2，如果AB位置不变，将DC向右平移k（k＞0）个单位，求△AEC的面积S关于k的函数表达式；（3）在第（2）问中，是否存在k的值，使AD⊥BC？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意知B（-2，0）、D（1，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（-2，-6）、D（1，0）的坐标代入，
解得k=2，b=-2，
∴直线BC的解析式为y=-x-2；
同理求得直线AD的解析式为y=2x-2，
解方程组

y＝2x?2 y＝?x?2

．
得点E的坐标为（0，-2），
（用其它方法求得点E的坐标可参考得分）
设经过A，E，C三点的此抛物线表达式为y=ax²+bx+c，
则

4a?2b+c＝?6 c＝?2 a+b+c＝?3

，
∴

a＝?1 b＝0 c＝?2

，
∴y=-x²-2．

（2）由题意得D（k+1，0），C（k+1，-3），BD=k+3，
∵AB、CD都垂直于x轴，
∴△ABE∽△DCE，
且SABDC＝

9

2

(k+3)，
作EF⊥AB于F，EG⊥CD于G，则
EF=

2

3

(k+3)，
EG=

1

3

(k+3)，
∴S_ABE+S_CDE=

5

2

（k+3）
∴S＝

1

2

(SABDC?SABE?SCDE)=k+3．

（3）由（2）知EF=

2

3

(k+3)，
∵△ABE∽△DCE，
∴

AE

ED

＝

AB

DC

＝

2

1

，
∵EF∥x轴，
∴

AF

FB

＝

2

1

，
∴AF=4，BF=2，
当AD⊥BC时，由EF⊥AB得△BEF∽△AFE，
∴EF²=BF?AF=8，
∴EF=2

2

（负根舍去）
∴

2

3

(k+3)=2

2

，k＝3

2

?3．