Question

（2014?盘锦三模）如图，对称轴为直线x=12的抛物线与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A、B两点（点A在点B

（2014?盘锦三模）如图，对称轴为直线x=12的抛物线与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），AB=5（1）求A、B两点的坐标及该抛物线对应的解析式；（2）D为BC的中点，延长OD与抛物线在第四象限内交于点E，连结AE、BE．①求点E的坐标；②判断ABE的形状，并说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点P，使得四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点A、B关于对称轴x=

1

2

对称，且AB=5
∴A（-2，0），B（3，0），
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
把A（-2，0）B（3，0）C（0，-3）代入得：

4a?2b+c＝0 9a+3b+c＝0 c＝?3

，
解得：

a＝ 1 2 b＝? 1 2 c＝?3

，
∴该二次函数的解析式为：y=

1

2

x²-

1

2

x-3；

（2）①BC的中点D的坐标为（

3

2

，-

3

2

），
设直线OE的解析式为：y=kx，
把  D（

3

2

，-

3

2

），代入得：k=-1，
∴OE：y=-x，
由

y＝?x y＝ 1 2 x2? 1 2 x?3

，
得

x1＝?3 y1＝3

，

x2＝2 y2＝?2

∴E（2，-2），
②∵AE=

42+22

=

20

，BE=

12+22

=

5

，AB=5，
∴AB²=AE²+BE²，
∴△ABE是直角三角形；

（3）存在满足条件的点P
过E作PE∥OB，交抛物线于点P，得：
点P、E关于对称轴x=

1

2

对称
∴P的纵坐标为-2，
由

1

2

x²-

1

2

x-3=-2得
x₁=-1，x₂=2，
∴P（-1，-2），
∴PE=3=OB，
∴四边形OBEP是平行四边形，
∴存在点P，使四边形OBEP是平行四边形，坐标为（-1，-2）．