Question

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，设以F为圆心，FA为半径的圆F交准线l于

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，设以F为圆心，FA为半径的圆F交准线l于M，N两点．（1）若∠MFN=90°，且△AMN的面积为42，求p的值；（2）若A，F，M三点共线于直线m，设直线m与抛物线C的另一个交点为B，记A和B两点间的距离为f（p），求f（p）关于p的表达式．

Answer 1

（1）由对称性可知，△MFN为等腰直角三角形，则斜边MN=2p，
且点A到准线l的距离d＝FA＝FM＝

2

p．S△AMN＝

1

2

MN?d＝

1

2

?2p?

2

p＝4

2

，即p=2．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过A作AK⊥l于点K，由已知得|AF|=|AK|=|FN|=|FM|，
所以在直角△AMN中，∠AMK=30°，所以∠AFx=60°，
所以直线m的方程为y＝

3

(x?

p

2

)，代入y²=2px（p＞0）整理后得3x2?5px+

3

4

p2＝0，所以x1+x2＝

5

3

p，
所以|AB|=|FA|+|FB|=x1+

p

2

+x2+

p

2

＝x1+x2+p=

5

3

p+p＝

8

3

p，
即f（p）=

8

3

p．

第（2）问另解：
由对称性可设A(

y02

2p

，y0) (y0＞0)，F(

p

2

，0)．
由点A，M关于点F对称，得