Question

已知椭圆x22+y2=1，（1）求过点P（12，12）且被P平分的弦所在直线的方程；（2）过A（2，1）引椭圆的割线

已知椭圆x22+y2=1，（1）求过点P（12，12）且被P平分的弦所在直线的方程；（2）过A（2，1）引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

（1）设这条弦与椭圆

x2

2

+y²=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中点坐标公式知x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入

x2

2

+y²=1，
作差整理得，（x₁-x₂）+2（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1?y2

x1?x2

=-

1

2

，
∴这条弦所在的直线的方程y-

1

2

=-

1

2

（x-

1

2

），即y=-

1

2

x+

3

4

，
检验：由于点（

1

2

，

1

2

）在椭圆内，故成立．
（2）设过A（2，1）引椭圆的割线ABC．
设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），中点P（x，y），则2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
直线AB：y-1=k（x-2）
则x₁²+2y₁²=2①，x₂²+2y₂²=2②
①-②得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
整理得，x（x₁-x₂）+2y（y₁-y₂）=0，化简得：k=

y1?y2

x1?x2

=-

x

2y

，代入y-1=k（x-2）
整理得：x²+2y²-2x-2y=0（-

2

≤x≤

2

），即为BC的中点P的轨迹方程．