Question

（2014?南宁模拟）如图，已知半径为2的⊙O与直线x相切于点A，点P 是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线

（2014?南宁模拟）如图，已知半径为2的⊙O与直线x相切于点A，点P 是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线x的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．（1）求证：△PCA∽△APB；（2）当x=25时，求弦PA、PB的长度；（3）当x为何值时，PD?CD的值最大？最大值是多少？

Answer 1

解答：（1）证明：∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，∴AB⊥l，
又∵PC⊥l，∴AB∥PC，∴∠CPA=∠PAB，
∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°，
又∵PC⊥l，∴∠PCA=∠APB=90°，
∴△PCA∽△APB；

（2）解：∵△PCA∽△APB
∴

PC

AP

=

PA

AB

，即 PA²=PC?AB，
∵PC=

5

2

，AB=4，∴PA=

5 2 ×4

=

10

，
∴Rt△APB中，AB=4，PA=

10

由勾股定理得：PB=

16?10

=

6

；

（3）解：过O作OE⊥PD，垂足为E，
∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，
又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四边形OACE为矩形，
∴CE=OA=2，又∵PC=x，∴PE=ED=PC-CE=x-2，PD=2（x-2），
∴CD=PC-PD=x-2（x-2）=4-x，
∴PD?CD=2（x-2）?（4-x）=-2x²+12x-16=-2（x-3）²+2    
∵2＜x＜4，
∴当x=3时，PD?CD的值最大，最大值是2．