Question

数学题求助，拉格朗日乘子法求解最优化问题和求函数的梯度向量和二阶海塞矩阵。如下图。

Answer 1

1、令L(x，y)=x²+3xy+y²+λ(x+y-100)
∂L/∂x=2x+3y+λ=0，∂L/∂y=2y+3x+λ=0。得2x+3y+λ=2y+3x+λ，即x=y。
又x+y=100，所以x=y=50。所以函数有最大值12500。
2、∂f/∂x=2xy²，∂f/∂y=2x²y-2
所以梯度向量grad(x²y²-2y)=2xy²i+(2x²y-2)j
∂²f/∂x²=2y²，∂²f/∂x∂y=4xy，∂²f/∂y²=2x²，∂²f/∂y∂x=4xy。
矩阵就是(2y²，4xy；2x²，4xy)
应该就是这么个意思吧。

Answer 2

1).设拉格朗日函数 F(x,y,l)=(x^2+3xy+y^2)-l(x+y-100),求F(x,y,l)的无条件最大值。
令dF/dx = 2x+3y-l=0, dF/dy = 3x+2y-l=0, dF/dl = -x-y+100=0.
由dF/dy-dF/dx=x-y=0,解得 x=y,代入dF/dl=0,解得 x=y=50
所以，目标函数x^2+3xy+y^2，当x=y=50时，有满足条件x+y=100的条件极大值 5*(50)^2=12500.
2) f(x,y)的梯度向量为 grad f=(2xy^2, 2x^2y-2)
f(x,y)的海塞矩阵为 Hess f=(2y^2 4xy)
(4xy 2x^2)