Question

在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF,∠BEF=2∠BAC

(1)求证：OE=OF
(2）若BC=2√3，求AB的长

Answer 1

证明：如图

因为：∠3=2∠4,∠3=∠4+∠1

所以：2∠4=∠4+∠1

所以：∠4=∠1，

而：∠1=∠2，∠4=∠5

所以：∠2=∠5

所以：AE=OE，CF=OF

而：AE=CF

所以：OE=OF

(2)  连接BO，

因为：BE=BF,OE=OF

所以：BO⊥EF

所以：∠BOF=∠BCF=90°

所以：BCFO四点共元

所以：∠6=∠2，∠8=∠9

而：∠2=∠4

所以：∠6=∠4

而：∠6+∠7=90°

所以：∠4+∠7=90°

所以：AC⊥BF

所以：∠7=∠8

所以：∠7=∠9=∠3

即：△EFB是等边三角形

所以：∠7=60°

所以：∠8=60°

所以：根据特殊直角三角形的性质有AB=BC√3=2(√3)(√3)=6

即：AB=6

Answer 2

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，则有∠ACD=∠BAC，∠AEF=∠CFE；又∵AE=CF，因此△CFO≌△AEO。于是，OE=OF，AO=CO。
（2）连接BO，则在矩形ABCD中因有AO=CO，必有AO=OB。于是∠BAC=∠EBO。在△BEF中，BE=BF且OE=OF，根据三线合一定理，可知∠EBO=∠FBO且BO⊥EF于O点。故在RT△BOE中，∠BEF=2∠BAC=2∠EBO，又有∠BEF+∠EBO=90°，因此有∠BEF=60°，∠BAC=30°。于是，在RT△ABC中，AB=BC÷tan∠BAC=2√3÷tan30°=6。