Question

请各位大神帮帮忙，我算的答案和标准答案不一样

求由曲面z=4-x^2-y^2与xOy坐标平面所围成的立体的体积

Answer 1

解：利用极坐标求解
联立z1=x^2+2y^2及z2=6-2x^2-y^2
消去z得x^2+y^2=2（图略。z2在上z1在下）
知方体Ω在xoy面投影区域为D:x^2+y^≤2
极坐标中0≤θ≤2π,0≤r≤√2
那么立体的Ω体积
V=∫∫(z2-z1)dxdy
=3∫∫(2-x^2-y^2)dxdy
=3∫(0,2π)dθ∫（2-r^2)rdr
=6π[2r^2-(1/4)r^4]|(0,√2)
=6π

追问

z1=x^2+2y^2及z2=6-2x^2-y^2是什么函数呢，z=4-x^2-y^2与xOy平面的投影的圆半径不应该是2吗？我觉得应该是z=0和z=4-x^2-y^2联立，因为xOy面不就是z=0吗？希望老师解答