Question

均值不等式都有哪些

Answer 1

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

概念：
1、调和平均数：Hn=n/(a_1+a_2+⋯+a_n )
2、几何平均数：Gn=n√(a_1 a_2…a_n )
3、算术平均数：An=(a_1+a_2+⋯+a_n)/n
4、平方平均数：Qn=√((a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2)/n)
5、均值定理： 如果
属于 正实数 那么
且仅当时 等号成立。
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（当r不等于0时）；
（a1a2...an)^(1/n）（当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））
则 [1]当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵
由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
均值定理的证明：因为 a 〉0 ， b 〉0 所以 a+b/2 - √ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0
即 a+b/2≥√ab. 当且仅当√a= √b ,等号成立。

变形
⑴对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab （当且仅当a=b时取“=”号），a^2+b^2>0>-2ab
⑵对非负实数a,b，有a+b≥2√（a×b）≥0，即（a+b)/2≥√（a×b）≥0
⑶对负实数a,b，有a+b<-2√（a*b)<0
⑷对实数a,b，有a(a-b）≥b(a-b)
⑸对非负实数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
⑹对实数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b）^2≥2ab
⑺对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
⑻对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
⑼对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
⑽对非负数a,b,c，有（a+b+c)/3≥（abc)^(1/3)

Answer 2

(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)
(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab
(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^

Answer 3

追问

写的清楚 整齐一点

立马采纳

好吗

追答

看得清吗?

可以推广到n个

?

看完了?

没在?

追问

在

刚刚去吃饭了

谢谢

Answer 4

1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)
(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab
(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^

Answer 5

不知道耶，可以去知网看看