Question

问: 求幂级数[∞∑n=1] [(2n-1)*x^(2n-2)]/2^n的和函数

Answer 1

S=[∞∑n=1] [(2n-1)*x^(2n-2)]/2^n
积分得：[∞∑n=1] [x^(2n-1)]/2^n
=(1/x) [∞∑n=1] [x^2/2]^n=(1/x)(x^2/2)/(1-x^2/2)=x/(2-x^2) |x^2/2|

幂级数：
幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
幂级数的和函数：
若对幂级数中的每一个x都有a0+a1x+a2x2+…+anxn+…=S(x)，则称S(x)为幂级数的和函数。

Answer 2

事先申明：
解析中下所有∑的下标均为n=1，上标均为∞，符号敲打不便，敬请谅解！

解：
设S(x)= ∑[(2n-1)*x^(2n-2)]/2^n
=∑[(2n-1)/2]*(x²/2)^(n-1)
=∑n*(x²/2)^(n-1)-(1/2)∑(x²/2)^(n-1)

令 x²/2=t
记
S1(t)=∑nt^(n-1)=1/(1-t)²
S2(x)=∑t^(n-1)=1/(1-t)，(-1<t<1)
故
S(x)=1/(1-x²/2)²-(1/2)*[1/(1-x²/2)
　　=4/(2-x²)²-1/(2-x²)
　　=(2+x²)/(2-x²)²，（-√2<x<√2）

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

S=[∞∑n=1] [(2n-1)*x^(2n-2)]/2^n
积分得：[∞∑n=1] [x^(2n-1)]/2^n
=(1/x) [∞∑n=1] [x^2/2]^n=(1/x)(x^2/2)/(1-x^2/2)=x/(2-x^2) |x^2/2|
望采纳，谢谢

Answer 5

|u(n+1) / un| → x²/2 ＜1，
则 -√2 ＜x ＜√2，
当 x=±√2 时，un=(2n-1)/2，显然级数发散，
所以收敛半径为 R=√2，
收敛域为(-√2，√2) 。