Question

已知函数f(x)=x+a/x+b,(x≠0), 其中a、b∈ R

若对于任意的 a∈[1/2,2], 不等式f(x)
≤ 10在[1/4，1]上恒成立，求b的取值范围。
答案是b小于等于7/4，求思路及过程，谢谢！

Answer 1

b<=10-(x+a/x)恒成立。
转换为求x+a/x的最大值，可以看做一个二元函数
x>0
f(x)=x+a/x的最大值只可能在端点处取得。所以只可能是1+a或1/4+4a
显然最大的是a=2时1/4+4a=33/4
10-33/4=7/4
所以b<=7/4

Answer 2

不等式化简为x[x-(1-a)]>0，当a>1，解集为x<1-a∪x>0，若a<1，解集为x<0∪x>1-a，当a=1，解集x≠0.
(2)求导得（b-a)/(x
b)方，当b>a，函数为单调增函数，(a-1)/(b-1)=5/4，（a
2)/(b
2)=2，得a=-4，b=-3，符合b>a，且x取值有意义。若b<a，函数为单调减函数，（a-1)/(b-1)=2,(a
2)/(b
2)=5/4，得a=5,b=3,经检验，符合条件