Question

求函数f（x，y）=x²+2y²-x²y² 在区域D=x²+y²≤4 y≥0上的最大值和最小值

请不要误导，给点过程，谢谢了！！

Answer 1

D:x^2+y^2<=4,y>=0
在平面直角坐标系表示的区域，在X轴上方的半圆，R<=2
设x=2cosa,y=2sina,0<=a<=180
f(x,y)
=4*(sin^2a+cos^2a)+4sin^2a(1-4cos^2a)
=4+2-2cos2a-4(1-cos^22a)

=4cos^2(2a)-2cos2a+2
=(2cos2a-1/2)^2+7/4
2cos2a=1/2,a=arccos(1/4)/2
f(x,y)min=7/4
2cos2a=-2,a=90
f(x,y)max=(-1*2-1/2)^2+7/4=8
所以：
f(x,y)min=7/4
f(x,y)max=8

Answer 2

最基本解决条件极值问题
令L（x,y）=x²+2y²-x²y² +λ（x²+y²-4）
分别让L的偏x导和偏y导和偏λ导=0
得出x，y代入目标函数即可