Question

数学第15题

Answer 1

解：
(1)
取BE中点M，连结AM，
∵ AF=EF=BE/2 且 EM=BM=BE/2
∴ AF=EM
又∵ AF∥BE
∴ 四边形AFEM是平行四边形 ----------平行四边形判定：一组对边平行且相等
∴ EF=AM
∴ AM=EM=BM
∴ △EAB是直角三角形 --------斜边中点是斜边一半的三角形是直角三角形
∴ ∠EAB=90° 即 EA⊥AB
又∵ 面ABEF⊥面ABCD ， AB 为两面交线，EA在面ABEF内
∴ EA⊥面ABCD
---------面面垂直性质定理1：
---------如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
(2)
连结DF，过点F做FN垂直BA延长线并交BA延长线于点N，连结DN
∵ EA⊥AB，FN⊥BN
∴ FN∥EA
又∵ EA⊥面ABCD
∴ EA⊥AD，FN⊥面NBCD
∵ 四边形AFEM是平行四边形，AF⊥EF，AF=EF=EM=AM
∴ 四边形AFEM是正方形 ------四条边都相等且有一个内角为直角的平行四边形是正方形
∴ △EAM、△ABM、△AEF 均为等腰直角三角形
∴ ∠AEB=∠EAM=∠MAB=∠ABE=∠EAF=∠FAN=45°
∴ △EAB、△ANF 均为等腰直角三角形
∴ AE=AB，AN=FN
又∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AD=AB=AE
又∵ FN⊥面NBCD
∴ FN⊥DN
∴ ∠NDF为DF与面ABCD所成的角
设FN=a，则AN=a，EF=AF=(根号2)a, AE=AD=2a
在Rt△DAN中，AN=a，AD=2a
由勾股定理得 DN = (根号5)a
在Rt△DNF中，DN = (根号5)a，FN = a
∴ tan∠NDF = FN/DN = a/((根号5)a) = (根号5)/5 ------五分之根号五
∴ DF与平面ABCD所成角的正切值为(根号5)/5

Answer 2

取be中点g，可证afeg为正方形，然后证abg为等腰直角三角形，推出ae垂直ab，最后推出ae垂直abcd
第二问建坐标系求解