Question

19题，过程详细即可

Answer 1

解：（1）f（x）在（-∞，0）上为增函数．
理由如下：令x1＜x2＜0，则f（x1）-f（x2）=x1-
1
x1
-1-（x2-
1
x2
-1）
=（x1-x2）+
x1-x2
x1x2
=（x1-x2）（1+
1
x1x2
），
由x1＜x2＜0，则x1-x2＜0，x1x2＞0，则有f（x1）-f（x2）＜0，
则f（x））在（-∞，0）上为增函数；
（2）当x＞0时，f（x）=x+
m
x
-1=0，x2-x+m=0，△=1-4m，
当0＜m＜
1
4
时，x=
1±
1-4m
2
；当m=
1
4
时，x=
1
2
；当m＞
1
4
时，方程无实数解．
当x＜0时，f（x）=x-
m
x
-1=0，x2-x-m=0，△=1+4m＞1（m＞0），
解得，x=
1-
1+4m
2
．
综上可得，当0＜m＜
1
4
时，f（x）有三个零点，分别为
1-
1+4m
2
，
1-
1-4m
2
，
1+
1-4m
2
；
当m=
1
4
时，f（x）有两个零点，分别为
1
2
，
1-
2
2
；
当m＞
1
4
时，f（x）有一个零点，则为
1-
1+4m
2
．
解析
（1）f（x）在（-∞，0）上为增函数．运用函数的单调性的定义加以证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（2）讨论当x＞0时，当0＜m＜
1
4
时，当m=
1
4
时，当m＞
1
4
时，以及当x＜0时，通过二次方程解的情况，即可判断零点个数．
知识点
函数单调性的性质；函数零点的判定定理．