常微分方程求通解
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(d)的解答：
微分方程 dy/dx=e^(-y^2)/(y(2x+x^2))
分离变量 ye^(y^2)dy=dx/(x(x+2))
1/2e^(y^2)d(y^2)=1/2(1/x-1/(x+2))dx
e^(y^2)d(y^2)=(1/x-1/(x+2))dx
两边积分∫e^(y^2)d(y^2)=∫(1/x-1/(x+2))dx 得
e^(y^2)=lnx-ln(x+2)+C1=C1-ln((x+2)/x)
两边取对数 y^2=ln(C1-ln((x+2)/x))
开方得 y(x) = ±√(ln(C1-ln((x+2)/x))))
代入 y(2)=0 得 C1-ln((2+2)/2))=1
∴C1=1+ln2=ln(2e)
∴通解为 y(x) = ±√(ln(ln(2e)-ln((x+2)/x))))
=±√(ln(ln(2ex/(x+2))))
微分方程 dy/dx=e^(-y^2)/(y(2x+x^2))
分离变量 ye^(y^2)dy=dx/(x(x+2))
1/2e^(y^2)d(y^2)=1/2(1/x-1/(x+2))dx
e^(y^2)d(y^2)=(1/x-1/(x+2))dx
两边积分∫e^(y^2)d(y^2)=∫(1/x-1/(x+2))dx 得
e^(y^2)=lnx-ln(x+2)+C1=C1-ln((x+2)/x)
两边取对数 y^2=ln(C1-ln((x+2)/x))
开方得 y(x) = ±√(ln(C1-ln((x+2)/x))))
代入 y(2)=0 得 C1-ln((2+2)/2))=1
∴C1=1+ln2=ln(2e)
∴通解为 y(x) = ±√(ln(ln(2e)-ln((x+2)/x))))
=±√(ln(ln(2ex/(x+2))))
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