Question

数学高中：设函数f（x）=lnx+[a/(x-1)]，g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）

设函数f（x）=lnx+[a/(x-1)]，g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）（其中a，α、β∈R），且当g（x）=0在（0,1/e）内有解时，f（x）在（0，α）内递增，在（α，1）内递减，在（1，β）内递减，在（β，+∞）内递增，。
（I）若g（x）=0在（0,1/e）内有解。求实数a的取值范围；
（II）在（I）的前提下，若x1∈（0,1），x2∈（1，+∞），求证：f（x2）-f（x1）＞e+2-(1/e)。
求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

若g（x）=0在（0,1/e）内有解,注意αβ=1 则必有0<α<1/e<1<β

说明g(1/e)<0 [ 注：满足此条件必有解因为g(0)=1>0 ]
即 g(1/e)=1/e²-(a+2)/e+1<0
解得 a>e+(1/e)-2

f(x)=lnx+[a/(x-1)]
f'(x)=1/x-a/(x-1)²=（x²-2x+1-ax)/[x(x-1)²]=g(x)/[x(x-1)²]=(x-α)(x-β)/[x(x-1)²]
区间（0，α）或（β，+∞）内 有 f'(x)>0 f(x)递增

区间（α，β）内 有 f'(x)<0 f(x)递减 上述a符合题目条件

观察函数单调区间
知x1∈（0,1） 知 f(x1)<=f(α)

x2∈（1，+∞） 知 f(x2)<=f(β)
那么 f(x2)- f(x1)>=f(β)-f(α)=f(β)-f(1/β)
=lnβ-a/(β-1)²-ln(1/β)+a/[(1/β)-1]²
=2lnβ+(β+1)a/(β-1)>2ln1+a=a>e+(1/e)-2

追问

为什么“αβ=1”？

追答

g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）=x²-（α+β）x+αβ