Question

线性方程组同解问题

2线性方程组同解 那么他们的秩相同 为什么？ 比如要证明r(A)=r(AT) A为任意m*n矩阵 这里只要证明线性方程组 ax=0 与aTx=0有相同的解x就可以了 但是为什么？

Answer 1

1，不一定。非齐次线性方程组ax=b有解的充要条件是系数矩阵a的秩等于增广矩阵（a
b）（就是a右边再加上一列b），在deta=0时，如果满足该条件则有无穷多解，否则无解。
2，如果deta不等于零，则方程组有唯一解。等于零时不好说，用上面方法。

Answer 2

矩阵相当于映射，矩阵奇异时，映射是多对1的；
m*n矩阵A就是将n维空间的点映射到m维空间（保持原点映为原点），其映射核定义为应到m维空间的原点的所有点；其秩则是像所能占据的最大的空间维数。映射核的维数+秩=min（n,m)
线性方程同解则这两个线性方程对应的矩阵可以将相同的子空间映射为m空间中的原点。即映射核相同，具有相同维数。因此秩也必须相同。

Answer 3

若同解但秩不同，而秩小的解可以包含不为秩大的解，所以不同解于是矛盾。秩越多表示约束越多，一个秩对于方程组的一个的约束，就是说，如果满秩，那么方程组就有确定解。
也许你可以参考通解表达式去想下。