Question

用函数极限定义证明，x→x0时， arctanx→arctanx0（x0＞0） tanx→tanx

用函数极限定义证明，x→x0时，
arctanx→arctanx0（x0＞0）
tanx→tanx0（x0≠kπ+π/2）
cos(1/x)→cos(1/x0)（x0≠0）
主要就是作差后不会放缩，求高人指点

Answer 1

　　用定义证明极限都是格式的写法，依样画葫芦就是，做一个：
　　11）因 x0≠0，限 |x-x0|<|x0|/2，有 |x|>=|x0|-|x-x0|>|x0|/2。任意给定ε>0，要使
　　　　|cos(1/x)-cos(1/x0)| = 2|-sin[(1/x-1/x0)/2]sin[(1/x+1/x0)/2]|
　　 　　　　 　 　 <= |1/x-1/x0|
　　 　　　　 　 　 <= |x-x0|/|xx0|
　　 　　　　 　 　 <= |x-x0|/(x0²/2) < ε，
需 |x-x0| < (x0²/2)ε，取 δ(ε)=min{x0²ε/2, |x0|/2} > 0，则当 0<|x-x0|<δ(ε) 时，就有
　　　　|cos(1/x)-cos(1/x0)| <= |x-x0|/(x0²/2) < … = ε，
根据极限的定义，得证。

追问

能不能提示一下tan和arctan要用到什么关系式呢？实在想不出来(尤其arctan)

追答

　　x0=0 的情形容易证明，以下仅就x0≠0 证明。利用三角公式
　　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)，
有
　　　|arctanx-arctanx0| = |arctan[(x-x0)/(1+xx0)]|
　　 1+x0²-|x0||x0-x|
　　> 1+x0²-|x0|(|x0|/2) = 1+x0²/2，
　　于是，
　　　|arctanx-arctanx0| <= |x-x0|/|1+xx0|
　　<= |x-x0|/(1+x0²/2)，
……

追问

懂了谢谢大神