Question

根据函数定义证明:函数f(x)当x接近x。时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等

Answer 1

因题干条件不完整，缺必要条件，不能正常作答

Answer 2

　　证明:

"=>"

　　若lim f(x)当x->x0存在，不妨假设lim f(x)=A当x->x0
所以，对于∀ε>0,∃δ0>0,当0<|x-x0|<δ0时|f(x)-A|<ε，
所以上述ε>0，取δ1=δ0，当x0<x<x0+δ1时|f(x)-A|<ε，
即 lim f(x)=A当x->x0+

同理limf(x)=A.

"<="

若f(x)当x->x0时左极限、右极限都存在并且相等.
不妨设lim f(x)当x->x0+ = lim f(x)当x->x0-=A

所以 对∀ε>0,∃δ1>0，当x0<x<x0+δ1时，|f(x)-A|<ε
∃δ2>0，当x0-德尔塔2<x<x0时，|f(x)-A|<ε，
所以 对上述ε>0，取δ=min{δ1，δ2}，当0<|x-x0|<δ时，
|f(x)-A|<ε，即 lim f(x) = A当x->x0时。