Question

高数求极限第三题，谢谢。

Answer 1

Answer 2

lim(x->0) sinx/|x| =1

lim(x->0) [2+e^(1/x)]/[1+e^(2/x)]
=lim(x->0) [2e^(-2/x)+e^(-1/x)]/[e^(-2/x)+1]
=0

lim(x->0){ [2+e^(1/x)]/[1+e^(2/x)] + sinx/|x| }
=0+1
=1

追问

这里要不要对绝对值讨论

分x趋于0左和0右

追答

不好意思
lim(x->0+) sinx/|x| =1

lim(x->0+) [2+e^(1/x)]/[1+e^(2/x)]
=lim(x->0+) [2e^(-2/x)+e^(-1/x)]/[e^(-2/x)+1]
=0

lim(x->0+){ [2+e^(1/x)]/[1+e^(2/x)] + sinx/|x| }
=0+1
=1

lim(x->0-) sinx/|x| =-1

lim(x->0-) [2+e^(1/x)]/[1+e^(2/x)]
=lim(y->0+) [2+e^(-1/y)]/[1+e^(-2/y)]
=2

lim(x->0-){ [2+e^(1/x)]/[1+e^(2/x)] + sinx/|x| }
=2-1
=1

lim(x->0+){ [2+e^(1/x)]/[1+e^(2/x)] + sinx/|x| }
=lim(x->0-){ [2+e^(1/x)]/[1+e^(2/x)] + sinx/|x| }
=lim(x->0){ [2+e^(1/x)]/[1+e^(2/x)] + sinx/|x| }
=1