Question

在三角形abc中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足2a cosc-(2b-c)=0。若

=根号3，求三角形abc周长的最大值

Answer 1

（1）∵在△ABC中，ccosB+（2a+b）cosC=0，∴由正弦定理，可得sinCcosB+（2sinA+sinB）cosC=0，即sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，所以sin（B+C）+2sinAcosC=0，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，∴sinA+2sinAcosC=0，即sinA（1+2cosC）=0，可得cosC=-12．又∵C是三角形的内角，∴C=2π3；（2）根据余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC，∵c=3，cosC=-12，∴3=a2+b2-2ab×（-12），整理得a2+b2=3-ab，又∵a2+b2≥2ab，∴3-ab≥2ab，可得ab≤1，由此可得：△ABC的面积S=12absinC=34ab≤34×1=34，∴当且仅当a=b=1时，△ABC面积的最大值为34．