Question

高中导数题

若f'(x)=-0.5x²+bln（x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是？
用高中方法解答，力求多种方法。
谢谢
越具体越好

Answer 1

定义域(-2,0)

求导f'(x)=-x+b/(x+2)=(-x^2-2x+b)/(x+2)

令g(x)=-x^2-2x+b

分类讨论

当判别式=4+4b=<0，即b=<-1时，f(x)恒递减，符合题意

当判别式大于0，即b>-1时，g(x)两个根x1=-1+根号（1+b） x1=-1-根号（1+b）

不难看出x1>-1>x2

所以f(x)在（-1，正无穷）不单调

无解

综上，b的范围（负无穷，-1]

Answer 2

因为f'(x)=-0.5x²+bln（x+2）在（-1，+∞）是减函数，所以对它求一次导数后在（-1，+∞）应该小于0
即f''(x)<0
x+b(1/(x+2))<0
解出b范围即可