Question

用定积分的计算方法计算，过程详细些，最好手写拍下来。谢谢。

Answer 1

解：

令x=2sint

x：0→2，t：0→π/2

∫[0：2]x³·√(4-x²)dx

=∫[0：π/2](2sint)³·√(4-4sin²t)d(2sint)

=∫[0：π/2](2sint)³·√(4cos²t)d(2sint)

=∫[0：π/2](2sint)³·2cost·2costdt

=8∫[0：π/2]sin³t·cos²tdt

=8∫[0：π/2]sint·(1-cos²t)·cos²tdt

=8∫[0：π/2](cos²t-cos⁴t)·sintdt

=8∫[0：π/2](cos⁴t-cos²t)d(cost)

=8[(1/5)cos⁵t -⅓cos³t]|[0：π/2]

=8[(1/5)cos⁵(π/2) -⅓cos³(π/2)]-8[(1/5)cos⁵0 -⅓cos³0]

=8(0-0)-8(1/5 -⅓)

=16/15

追问

中间部分是不是少了4？

追答

不少，开根号开出来了，开根号到外面是2。

追问

恩

追答

不少，开根号开出来了，开根号到外面是2。
哦，前面搞错了，那个立方。
重新写一下：
解：
令x=2sint
x：0→2，t：0→π/2
∫[0：2]x³·√(4-x²)dx
=∫[0：π/2](2sint)³·√(4-4sin²t)d(2sint)
=∫[0：π/2](2sint)³·√(4cos²t)d(2sint)
=∫[0：π/2](2sint)³·2cost·2costdt
=32∫[0：π/2]sin³t·cos²tdt
=32∫[0：π/2]sint·(1-cos²t)·cos²tdt
=32∫[0：π/2](cos²t-cos⁴t)·sintdt
=32∫[0：π/2](cos⁴t-cos²t)d(cost)
=32[(1/5)cos⁵t -⅓cos³t]|[0：π/2]
=32[(1/5)cos⁵(π/2) -⅓cos³(π/2)]-8[(1/5)cos⁵0 -⅓cos³0]
=32(0-0)-8(1/5 -⅓)
=64/15
前面那个2的立方，当做2了。

追问

恩。

Answer 2

设x=2sinα，0≤α≤π/2
代入
使用倍角公式，积化和差降次，
积分函数=-4cosα十(2/5)cos5α-(2/3)cos3α十C
积分值64/15

追答