Question

求幂级数的和函数。求具体过程

Answer 1

　　解：【用 [.]'表示对x求导】。
　　原式=∑[(-1)^n]x^(2n)+2∑{[(-1)^n]/[2n(2n-1)]}x^(2n)，
　　而在收敛域内，∑[(-1)^n]x^(2n)=(-x^2)/(1+x^2)，
　　设S=∑{[(-1)^n]/[2n(2n-1)]}x^(2n)，两边对x求导，S'=∑{[(-1)^n]/(2n-1)}x^(2n-1)。再对x求导，S''=∑[(-1)^n]x^(2n-2)=-1/(1+x^2)，
　　∴S'=-arctanx+C1，S=-∫(arctanx+C1)dx=-xarctanx+(1/2)ln(1+x^2)+C1x+C2。又，x=0时，S'=0，S=0，∴C1=C2=0。
　　∴原式=(-x^2)/(1+x^2)-2xarctanx+ln(1+x^2)。供参考。

Answer 2