Question

怎样用凸函数证积分不等式的典型例题

Answer 1

凸函数是一类重要的函数，且在众多学科中有着广泛的应用.目前，不断出现新型的各类广义凸函数，且广义凸函数及其应用的研究一直较为活跃的研究课题，特别，广义凸函数的Hermite-Hadamard型不等式的研究得到了进一步完善.
　　1881年，由Hermite首先提出了凸函数的一个积分不等式
设函数f(x）是[a，b]上的凸函数，则（b-a）f(a+b/2)≤∫baf(x）dx≤(b-a）f(a)+f(b)/2.
　　1893年，由Hadamard证明了下面的不等式
设函数f(x）是[a，b]上的凸函数，则f(a+b/2)≤1/b-a∫baf(x)da≤f(a)+f(b)/2.(1)
称(1)为Hermite-Hadamard积分不等式.
　　Hermite-Hadamard积分不等式是凸函数中的经典不等式，它随着凸函数发展而发展.关于凸函数的Hermite-Hadamard积分不等式的改进，推广和应用得到了国内外学者的一直关注.