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V(a)=∫(1,a) πf²(x)dx=(π/3)*[a²f(a)-f(1)]
即∫(1,x) πf²(t)dt=(π/3)*[x²f(x)-f(1)]
等式两边对x求导
πf²(x)=(π/3)*[x²f'(x)+2xf(x)]
整理y'+(2/x)*y=3y²/x²
这是一个伯努利方程
令u=1/y
得du/dx-(2/x)*u=-3/x²
解这个一阶线性方程求得u，进而求出y
结合初始条件f(2)=2/9
最终得到f(x)
即∫(1,x) πf²(t)dt=(π/3)*[x²f(x)-f(1)]
等式两边对x求导
πf²(x)=(π/3)*[x²f'(x)+2xf(x)]
整理y'+(2/x)*y=3y²/x²
这是一个伯努利方程
令u=1/y
得du/dx-(2/x)*u=-3/x²
解这个一阶线性方程求得u，进而求出y
结合初始条件f(2)=2/9
最终得到f(x)
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