Question

已知数列an的前n项和为Sn，a1=3，且对任意的正整数n，都有Sn+1=λSn+3^（n+1），

已知数列an的前n项和为Sn，a1=3，且对任意的正整数n，都有Sn+1=λSn+3^（n+1），其中常数λ＞0，设bn=an/3^n
（1）若λ=3，求数列bn的通项公式
（2）若λ≠1且≠3，设cn=an+（2/λ-3）乘3^n，证明数列cn是等比数列

Answer 1

（1）S(n+1)=3Sn+3^(n+1)
a(n+1)=S(n+1)-Sn
=2Sn+3^(n+1)
Sn=[a(n+1)-3^(n+1)]/2
an=Sn-S(n-1)
=[a(n+1)-3^(n+1)-an+3^n]/2
3an=a(n+1)-2*3^n
bn=an/3^n=a(n+1)/3^(n+1)-2/3=b(n+1)-2/3
b(n+1)=bn+2/3
b1=a1/3^1=3/3=1
所以bn=1+2/3*(n-1)=(2n+1)/3
（2）S(n+1)=rSn+3^(n+1)
a(n+1)=S(n+1)-Sn
=(r-1)Sn+3^(n+1)
Sn=[a(n+1)-3^(n+1)]/(r-1)
an=Sn-S(n-1)
=[a(n+1)-3^(n+1)-an+3^n]/(r-1)
ran=a(n+1)-2*3^n
a(n+1)=ran+2*3^n
c(n+1)-[2/(r-3)]*3^(n+1)=r[cn-2/(r-3)*3^n]+2*3^n
c(n+1)-[6/(r-3)]*3^n=rcn-[6/(r-3)]*3^n
c(n+1)=rcn
所以{cn}是等比数列