Question

求微分方程y''+y=xe^x满足条件y|x=0 =0,y'|x=0 =1的特解

求微分方程y''+y=xe^x满足条件y|x=0 =0,y'|x=0 =1的特解。如题

Answer 1

解：∵齐次方程y''+y=0的特征方程是r²+1=0，则r=±i （复数根）
∴此齐次方程的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1,C2是积分常数)
设原微分方程的特解是y=(Ax+B)e^x
∵y'=Ae^x+y
y''=Ae^x+y'=2Ae^x+y
代入原微分方程得2Ae^x+y+y=xe^x
==>2Ae^x+2(Ax+B)e^x=xe^x
==>2Axe^x+(2A+2B)e^x=xe^x
==>2A=1,2A+2B=0 (比较同次幂的系数)
==>A=1/2,B=-1/2
∴原微分方程的特解是y=(x-1)e^x/2
故原微分方程的通解是y=C1cosx+C2sinx+(x-1)e^x/2 (C1,C2是积分常数)

Answer 2

cos(x)/2 + sin(x) + (exp(x)*sin(x)*(x*cos(x) - sin(x) + x*sin(x)))/2 - (exp(x)*cos(x)*(cos(x) - x*cos(x) + x*sin(x)))/2