Question

求微分方程（2x+y)dx+xdy=0的通解

Answer 1

如下：

∵（2x+y)dx+xdy=0

==>2xdx+ydx+xdy=0

==>d(x²)+d(xy)=0

==>d(x²+xy)=0

==>x²+xy=C(C是积分常数)

∴原微分方程的通解是x²+xy=C(C是积分常数)

通解定义：

对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解或者部分解的统一形式，称为通解（general solution）。对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。

Answer 2

解：（此题最简单的方法：全微分法）
∵（2x+y)dx+xdy=0 ==>2xdx+ydx+xdy=0
==>d(x²)+d(xy)=0
==>d(x²+xy)=0
==>x²+xy=C (C是积分常数)
∴原微分方程的通解是x²+xy=C (C是积分常数)

Answer 3

(2x+y)dx=-xdy
2x+y+xdy/dx=0
dy/dx=-(2+y/x)

设u=y/x，齐次方程dy/dx=u+xdu/dx
u+xdu/dx=-(2+u)
xdu/dx=-2(1+u)
du/(-2(1+u))=dx/x
d(1+u)/(-2(1+u))=dx/x
两边同时积分得
-0.5ln(1+u)=lnx+lnC
ln(1+u)=ln(Cx)^(-2)
u=(Cx)^(-2)-1
y/x=(Cx)^(-2)-1
y=C/x-x

C为常数

方法二：
dy/dx+y/x=-2
y=(∫-2e^(∫dx/x)dx+C)e^(-∫dx/x)
y=(∫-2e^(lnx)+C)e^(-lnx)
y=(∫-2xdx+C)/x
y=(∫-2xdx+C)/x
y=(-x^2+C)/x
y=C/x-x

Answer 4

用matlab求解：dsolve('Dy=-2-y/x','x')
y=-x+1/x*C1

Answer 5

x^2+xy=C