Question

格林公式的二，平面曲线积分与路径无关的条件

Answer 1

【定义】设G 是一个开区域，函数P(x,y)与Q（x，y）在G 内具有一阶连续偏导数，如果对于G 内任意两点 A,B，以及G 内从A 点到B点的任意两条曲线L1,L2 ，（Pdx+Qdy）在L1上的曲线积分=（Pdx+Qdy）在L2上的曲线积分恒成立，就称曲线积分 在 内与路径无关；否则，称与路径有关.
定义还可换成下列等价的说法
若曲线积分与路径无关，那么对G内任意闭曲线c∮c P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0恒成立。
即： 在区域G 内由 所构成的闭合曲线上曲线积分为零.反过来，如果在区域G 内沿任意闭曲线的曲线积分为零，也可方便地导出在G 内的曲线积分与路径无关.
总结：
曲线积分在单连通区域G内与路径无关等价于
对于G 内任意一条闭曲线 c，恒有∮c P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0等价于
对于G 内任意两点 A,B，以及G 内从A 点到B点的任意两条曲线L1,L2 ，（Pdx+Qdy）在L1上的曲线积分=（Pdx+Qdy）在L2上的曲线积分 【定理】设开区域是一个单连通域G，函数P(x,y)，Q（x，y）在G内具有一阶连续偏导数，则在G内曲线积分与路径无关的充分必要条件是等式
在G内恒成立.
证明：先证充分性
在内任取一条闭曲线，因单连通，故闭曲线所围成的区域全部在内.从而 在上恒成立.
由格林公式，有
依定义二，在内曲线积分与路径无关.
再证必要性（采用反证法）
假设在内等式不恒成立，那么内至少存在一点，使
不妨设
由于在内连续，在内存在一个以为圆心,半径充分小的圆域，使得在上恒有
由格林公式及二重积分性质有
这里是的正向边界曲线，是的面积.
这与内任意闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾.故在内等式
应恒成立.
注明：定理所需要的两个条件
缺一不可.
【反例】讨论，其中是包围原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的.
这里
，
除去原点外，在所围成的区域内存在，连续，且 .
在内，作一半径充分小的圆周
在由与所围成的复连通域内使用格林公式有