Question

∬（∑）[axdydz+(z+a)²dxdy]/(x²+y²+z²)½,

其中∑为下球面z=-(a2-x2-y2) 的上侧

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

答：- πa³/2

高斯公式法：
先将分母化简，√(x² + y² + z²) = a
∫∫_(Σ) [ axdydz + (z + a)²dxdy ]/√(x² + y² + z²)
= (1/a)∫∫_(Σ) axdydz + (z + a)²dxdy
补面Σ1：z=0，取下侧，用高斯公式，内侧取 -
= - (1/a)∫∫∫_(Ω) [ a + 2(z + a) ] dxdydz - (1/a)∫∫_(Σ1) a² dxdy
= - (1/a)∫∫∫_(Ω) (3a+2z) dxdydz - (1/a)[ - ∫∫_(D) a² dxdy ]
Ω为下半球z = - √(a² - x² - y²)，考虑用截面法
x² + y² = a² - z²，- a ≤ z ≤ 0
= - (1/a)∫(- a,0) (3a+2z) * π(a² - z²) dz + a∫∫_(D) dxdy
= - (1/a)π * (3a⁴/2) + a * πa²
= - πa³/2

曲面积分法：
Σ为z = - √(a² - x² - y²)，取上侧
z'x = x/√(a² - x² - y²)、z'y = y/√(a² - x² - y²)
法向量为n = + { - z'x，- z'y，1 }，上侧取 +
= { - x/√(a² - x² - y²)，- y/√(a² - x² - y²)，1 }
= { dydz，dzdx，dxdy }
即dydz = - x/√(a² - x² - y²) dxdy

∫∫_(Σ) [ axdydz + (z + a)²dxdy ]/√(x² + y² + z²)
分母的函数在球面，可以先代入化简
= (1/a)∫∫_(Σ) axdydz + (a + z)²dxdy
= (1/a)∫∫_(D) [ ax(- z'x) + (a - √(a² - x² - y²))² ] dxdy
D为圆域：x² + y² ≤ a²
= (1/a)∫∫_(D) [ ax(- x/√(a² - x² - y²)) + (a - √(a² - x² - y²))² ] dxdy
= - ∫∫_(D) x²/√(a² - x² - y²) dxdy + (1/a)∫∫_(D) (a - √(a² - x² - y²))² dxdy
第一个积分可用对称性，x² = (x² + y²)/2
= - (1/2)∫∫_(D) (x² + y²)/√(a² - x² - y²) dxdy
+ (1/a)∫∫_(D) (a - √(a² - x² - y²))² dxdy，用极坐标化简
= - (1/2)∫(0,2π) dθ ∫(0,a) r³/√(a²-r²) dr + (1/a)∫(0,2π) dθ ∫(0,a) (a-r)²*r dr
= - (1/2)(2π)∫(0,π/2) (asin³z)/(acosz)*(acosz) dz
+ (1/a)(2π)∫(0,a) (a²-2ar+r²)*r dr
= - (1/2)(2π)(2a³/3) + (1/a)(2π)(a⁴/12)
= - πa³/2