Question

n的阶乘除以n的n次方，在开n次根，极限是多少

Answer 1

xn=(n!/n^n)^(1/n)

两边取对数，

lnxn=(1/n)*(ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+···+ln(n/n))

上式可看成f(x)=lnx

在[0，1]上的一个积分和。即对[0，1]

区间作n等分，每个小区间长1/n。

因此当n趋于无穷时，lnxn等于f(x)=lnx在[0，1]上的定积分。

lnx在[0，1]上的定积分为-1

所以lnxn在n趋于无穷时的极限为-1。

由于xn=e^(lnxn),

于是xn在n趋于无穷时的极限值为1/e

对定义的理解：

因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

Xn=(n!/n^n)^(1/n)
两边取对数,
lnXn=(1/n)*(ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+···+ln(n/n))
上式可看成 f(x)=lnx 在[0,1]上的一个积分和.即对[0,1]
区间作n等分,每个小区间长1/n.
因此当n趋于无穷时,lnXn等于f(x)=lnx在[0,1]上的定积分.
lnx在[0,1]上的定积分为-1
所以 lnXn在n趋于无穷时的极限为-1.
由于 Xn=e^(lnXn),
于是 Xn在n趋于无穷时的极限值为1/e.

Answer 3

积分的办法楼上是对的，讲一下其他的解法
一种是stolz公式加洛必达，先取对数，化成分数形式，得到(n-1)ln( (n-1) / n )，之后洛必达到底即可
另一种最简单的办法是使用Stirling公式，直接代入，一步即可