Question

已知二次函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+4x+2且f（0）=3，求f（x）的表达式

Answer 1

解：
设函数表达式f(x)=ax²+bx+c，(a≠0)
f(0)=3
x=0，f(x)=3代入，得：c=3
f(x)=ax²+bx+3
f(x+2)=f(x)+4x+2
a(x+2)²+b(x+2)+3=ax²+bx+3+4x+2
整理，得：(2a-2)x+(2a+b-1)=0
要对任意实数x，等式恒成立
2a-2=0
2a+b-1=0
解得a=1，b=-1
f(x)=1·x²+(-1)·x+3=x²-x+3
函数f(x)表达式为f(x)=x²-x+3

Answer 2

设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+c
f（0）=c=3
f（2）=f（0+2）=f（0）+4×0+2=5
即f（2）=4a+2b+3=5 即4a+2b=2 ①
f（4）=f（2+2）=f（2）+4×2+2=15
即f（4）=16a+4b+3=15 即 16a+4b=12 ②
①×2得 8a+4b=4 ③
②-③得 8a=8 a=1 b=-1
f（x）=x²-x+3