Question

这个怎么计算

Answer 1

　　可以令x²=3tan²t，也就是x=√3tant，所以dx=√3sec²tdt，然后把x²=3tan²t带入到原式之后，利用tan²t+1=sec²t计算，做完这些后你会发现原积分变成了3∫sec³tdt，这个积分比较难算，为了不和tan里面的t看混了，我把t写成x，给出∫sec³xdx的积分计算过程哈，然后我只给你写不定积分，结果你自己算啊
设M=∫(secx)^3dx
=∫secx(secx)^2dx
=∫secxdtanx
=secxtanx-∫tanxdsecx
=secxtanx-∫(tanx)^2secxdx
=secxtanx-∫((secx)^2-1)secxdx
=secxtanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx
=secxtanx+ln│secx+tanx│-∫(secx)^3dx
=secxtanx+ln│secx+tanx│-M
所以M=∫(secx)^3dx=1/2（secxtanx+ln│secx+tanx│）+C
　　也就是原式=3/2（sect tant+ln│sect+tant│）+C
　　然后把x=√3tant还原回去，也就是把tant=x/√3，sect=√（tan²t+1）= √(x³+1)/√3带入到上式中去，结果是
　　上式=1/2[x√(x³+1)+3/2ln|x+√(x³+1)|+C
　　那带入上下限的活你自己做吧。