Question

已知a,b,c分别为△ABC三个内角ABC的对边，满足bcosC+√3bsinC-a-c=0

若a=2，且AC边上的中线BD长为√21，求△ABC的面积

Answer 1

解：

bcosC+√3bsinC-a-c=0

b(cosC+√3sinC)=a+c

sinB(cosC+√3sinC)=sinA+sinC

sinBcosC+√3sinBsinC=sin（B+C）+sinC

sinBcosC+√3sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC

√3sinBsinC=(cosB+1)sinC

√3sinB=cosB+1

√3sinB-cosB=1

√3/2sinB-1/2cosB=1/2

sin(B-30°)=1/2

B-30°=30°，B=60°

或B-30°=150°，B=180°（舍去），

延长BD到E，使DE=BD，连接AE，

则△BDC≌△EDA，

∴AE=BC=2，∠BAE=120°，

根据余弦定理，

BE²=AB²+AE²-2AB×AEcos∠BAE

（2√21）²=2²+c²-2×2×c×cos120°

84=4+c²+2c

c²+2c-80=0

（c+10）（c-8）=0

c=-10（舍去），

c=8，

S△ABC=1/2acsinB=1/2×2×8×sin60°=4√3.