Question

已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点

已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点。
（1）求线段AP中点的轨迹方程；
（2）若∠PBQ=90°，求PQ中点的轨迹方程。

Answer 1

(1)
设点P坐标(2cosα，2sinα)，设AP中点坐标(x，y)
x=(2cosα+2)/2，y=(2sinα+0)/2
cosα=x-1，sinα=y
cos²α+sin²α=1
(x-1)²+y²=1
此即为AP中点的轨迹方程，是以(1，0)为圆心，1为半径的圆
(2)
设点P坐标(2cosα₁，2sinα₁)，点Q坐标(2cosα₂，2sinα₂)
设PQ中点坐标(x，y)
x=(2cosα₁+2cosα₂)/2=cosα₁+cosα₂
y=(2sinα₁+2sinα₂)/2=sinα₁+sinα₂
(cosα₁+cosα₂)²+(sinα₁+sinα₂)²
=sin²α₁+cos²α₁+sin²α₂+cos²α₂+2sinα₁sinα₂+2cosα₁cosα₂
=2sinα₁sinα₂+2cosα₁cosα₂+2
=x²+y²
2sinα₁sinα₂+2cosα₁cosα₂=x²+y²-2
(2sinα₁-1)(2sinα₂-1)+(2cosα₁-1)(2cosα₂-1)=0
2(2sinα₁sinα₂+2cosα₁cosα₂)-2(sinα₁+sinα₂)-2(cosα₁+cosα₂)+2=0
2(x²+y²-2)-4y-4x+2=0
(x-1)²+(y-1)²=3
此即为所求PQ中点轨迹方程，是以(1，1)为圆心，√3为半径的圆

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what？

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