求大神给出详细过程
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构造函数g(x)=∫_a^x tf(t)dt-(a+x)/2∫_a^x f(t)dt, x属于[a,b],
则g(a)=0,
g'(x)=xf(x)-[1/2∫_a^x f(t)dt+(a+x)/2 f(x)]=(x-a)/2 f(x)-1/2∫_a^x f(t)dt,
g'(a)=0,
g''(x)=(x-a)/2 f'(x),
因为x属于[a,b], 且f(x)在[a,b]上单调增加, 所以g''(x)=(x-a)/2 f'(x)＞=0,
所以g'(x)单调递增，所以g'(x)＞=0,
所以g(x)单调递增, 所以g(x)＞=0, 所以g(b)＞=0, 所以原不等式成立。
则g(a)=0,
g'(x)=xf(x)-[1/2∫_a^x f(t)dt+(a+x)/2 f(x)]=(x-a)/2 f(x)-1/2∫_a^x f(t)dt,
g'(a)=0,
g''(x)=(x-a)/2 f'(x),
因为x属于[a,b], 且f(x)在[a,b]上单调增加, 所以g''(x)=(x-a)/2 f'(x)＞=0,
所以g'(x)单调递增，所以g'(x)＞=0,
所以g(x)单调递增, 所以g(x)＞=0, 所以g(b)＞=0, 所以原不等式成立。
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舒仕福
2023-07-11 广告
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