Question

幂级数求和逐项积分公式中为什么积分限是0到x

Answer 1

问为什么积分限是0到x，首先回顾一下逐项可积性的公式：

需要注意最关键的问题：我们应该让这个处理显得简洁。现在，对级数积分，且是在对幂级数积分，此时积分对象是一个个anx^n，我们首先要保证积分后的样子长得还是像x^n而不是(x+1)^n，这就对积分确定了上限x；随后我们又发现如果下限不是0而是某个其他常数，例如1，则积分结果又会多出很多个常数-a1、-a2、...、-an出来，因此为了便利，下限取0。就有了积分限是0到x的要求。

从上文可以看出，积分限是0到x只是让逐项可积性显得简洁的一种特殊情况，不然需要手动额外处理大量“偏差”。

此外，对于做题而言，需要注意积分限0到x对于非幂函数的原函数而言，例如e^x，当x取0，F(0)=1≠0，那么从幂级数得到和函数的过程中就要注意和函数可能是有C这个量级的差距的。也就是说，在做题过程中必须要保证积分限是明着写出来：0到x而非视为不定积分，否则最后计算结果可能会有偏差。

Answer 2

形如∑(an)x^n的级数，积分范围从0到x是因为x^n的原函数x^(n+1)在x=0时的数值容易计算（一般为0），而对形如∑(an)(x-x0)^n的级数，积分范围就应当是从x0到x。