Question

高等数学 方向导数与梯度

Answer 1

解：
向径的单位方向：

(x0,y0,z0)/[√(x0)²+(y0)²+(z0)²]
因此，该向径的方向角为：
cosα=x0/√[(x0)²+(y0)²+(z0)²]
cosβ=x0/√[(x0)²+(y0)²+(z0)²]
cosγ=z0/√[(x0)²+(y0)²+(z0)²]
函数u=(x²/a²)+(y²/b²)+(z²/c²)在该向径的方向导数为：
∂u/∂r0
=u'x·cosα+u'y·cosβ+u'z·cosγ
=2(x0)²/a²√[(x0)²+(y0)²+(z0)²] + 2(y0)²/b²√[(x0)²+(y0)²+(z0)²] +2(z0)²/c²√[(x0)²+(y0)²+(z0)²]
=2[(x0)²/a²+(y0)²/b²+(z0)²/c²]/√[(x0)²+(y0)²+(z0)²]
=2[b²c²(x0)²+a²c²(y0)²+a²b²(z0)²]/a²b²c²√[(x0)²+(y0)²+(z0)²]
在点M0处的梯度的模为：
|gradu(x0,y0,z0)|
=√[(u'x0)²+(u'y0)²+(u'z0)²]
=√{[2(x0)²/a²]²+[2(y0)²/b²]²+[2(z0)²/c²]²}
=2√{[b²c²(x0)²+a²c²(y0)²+a²b²(z0)²]}/a²b²c²
根据题意：
∂u/∂r0=|gradu(x0,y0,z0)|，则：
2[b²c²(x0)²+a²c²(y0)²+a²b²(z0)²]/a²b²c²√[(x0)²+(y0)²+(z0)²]
=2√{[b²c²(x0)²+a²c²(y0)²+a²b²(z0)²]}/a²b²c²
因此：
a=b=c