Question

求下列函数的单调区间与极值

Answer 1

(1).  f(x)=xe^(-x)

令 f'(x)=e^(-x)-xe^(-x)=(1-x)/e^x=0，得唯一驻点x=1；当x<1时f'(x)>0；

当x>1时f'(x)<0；故x=1是极大点，极大值f(x)=f(1)=1/e；故该函数在区间

(-∞，1]内单调增；在区间[1，+∞）内单调减。(见图一)

(2).  f(x)=x²e^(-x)

令f '(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=x(2-x)e^(-x)=-x(x-2)e^(-x)=0

得驻点:  x₁=0，x₂=2；x₁是极小点；x₂是极大点。

极小值f(x)=f(0)=0；极大值f(x)=f(2)=4e^(-2)=4/e².

故该函数在区间(-∞，0]和区间[2，+∞）内单调减；在区间[0，2]内单调增。

(见图二).