Question

级数n=1(√n+1-√n)2∧nx∧2n的收敛区间是

Answer 1

解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=2lim(n→∞)[√(n+2)-√(n+1)]/[√(n+1)-√n]=2，∴收敛半径R=1/ρ=1/2。
又，lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=lim(n→∞)丨x丨/R<1，∴-1/2<x<1/2。
而当x=1/2时，级数转化成∑1/[√(n+1)+√n]~1/2∑1/√n，后者是p=1/2的p-级数，发散。x=-1/2时，级数转化成∑[(-1)^n]/[√(n+1)+√n]~1/2∑(-1)^n]/√n，后者是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛。
∴收敛区间为，-1/2≤x<1/2。供参考。

追问

答案不是这个

追答

如果是图片上的题目，答案没错。如果是问题如标题所显示的，即x的幂指函数是x^(2n)，求解过程一样，收敛区间为-1/√2≤x<1/√2。
供参考。

追问

对的对的，我那个图里写错了

但是，就是不知道那里ρ具体怎么化简求出来的

你把你的步骤拍个图给我看一下

追答

不好意思，图片上传不成功。
ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=2lim(n→∞)[√(n+2)-√(n+1)]/[√(n+1)-√n]。分子、分母分别有理化后，再分子分母分别除以√n即可。
lim(n→∞[√(n+1)+√n])/[√(n+2)+√(n+1)]=lim(n→∞[√(1/n+1)+1])/[√(1+2/n)+√(1/n+1)]=2/2=1。
供参考。

追问

那这个时候端点取的到我

么

追答

端点值不能取了。如同前面x=1/2时一样，是发散的。即其收敛区间是不含端点值的。